Sanal Sayılar Nedir?

Sanal Sayılar Nedir?

Aslına bakarsanız bu terim biraz tuhaf, çünkü tersten bakarsak aslında her sayı sanaldır. Bizim belirlediğimiz sembollerdir. Ama sanal sayılar teriminde kaçırdığımız bir durum var. Çünkü burada yine boyut kavramı devreye giriyor.

Boyutlar Arasında Biraz Yolculuk Yaparsak Sanal Sayıları Bulabiliyoruz!

x² = 4 dediğimiz zaman! x’in ne olduğunu bulabiliriz değil mi?

Sıradan bir ortaokul matematiği ile bu denklemde, x yerine 2 koyarak sonuca ulaşabiliriz.

x² nedir?  x çarpı x’dir

x’in yerine 2 koyarsak…

Sonuç x = 2’dir…

Ama bir detayı kaçırmayalım.

X yerine -2 koyarsak da sonuç 4‘tür..

Evet -2 çarpı -2, 4 eder..

O zaman bu denklemin sonucu  hem -2 hem de artı 2′dir. Yani bu denklemin iki sonucu varmış…

Negatif Sayılar

Eksi yani negatif sayılar hayatımıza girdiğinden beri bu denklemler bu şekilde çözülüyor. Tabi negatif sayılar öyle kolay kabullenilmedi. Neden hiçliğin bir de eksisi olsundu ki!

1600’lü yıllara kadar bunu kabullenmek istemiyoruz aslında… Milattan önce 200 demek yerine neden –200 densinki, kafa karıştırmayalım şimdi filan denmiş herhalde. Mesela yine benim 500 tl borcum var demek yerine, hesabımda -500’deyim demek zorlayıcı olsada matematik bunları tanımlamadan ilerleyemedi maalesef…

Tamam negatif sayılara mecburuz bunu anladık…

O zaman x² = 1 denklemine bakalım….

Neyle neyi çarparsak 1 oluyor? Yine aynı 1 ile 1’i çarpıyoruz, evet bu 1’dir.

Yine aynı şekilde -1 ile -1’ide çarparsak bu da birdir.

Sonuç yine -1 ve artı 1’dir.

Temel biraz matematik yaptıysak gelelim en eğlenceli kısma “Sanal Sayılar”

Bir sayının karesinin sonucunun 4 olabileceğini yazdık. 2.denklemde de 1 olarak yazdık. Farkında mısınız? x çarpı x yani x²’deki x ekside olsa artıda olsa sonuç negatif olamıyor.

X²+1 = 0 denklemi karşımıza gelirse ne olacak?

At 1’i karşıya: X²=-1

E bu nasıl oluyor? Bu mümkün mü? Bir sayının karesi -1 gibi bir sayıya eşit olabilir mi?

Matematik iflas mı edecek?

Her iki tarafın kare kökünü alırsak:  x kök içinde -1’e eşit olacak. √x = -1

Kök içinde bir sayı eksi olabilir mi? Hiçliğin eksisinin birde karekökü garip…

Sanal Sayılar

Negatif bir sayının karekökünü düşünen ilk kişi, 1545’te İtalyan matematikçi Girolamo Cardano oldu. Ancak bununla uğraşmanın yararsız olduğunu düşünerek elde ettiği sonuçları görmezden geldi. Birkaç on yıl sonra,  Rafael Bombelli‘nin dikkatini çekti. Ancak yanlış teknikler kullanarak kullanmaya çalıştığı için hesaplamalarının içinden çıkamadı. Sanal sayılara bu ismi veren kişi de filozof ve matematikçi Descartes’dir. Yıl 1637.

Devamında da Euler bu sayılara bir kimlik kazandırdı ve bu sayede de √-1 , “i” olarak gösterilmeye başlandı. Artık zihnimizde de olsa sanal sayılar bir varlığa kavuşmuştu. Ne işe yarayacaklarını başlarda tam olarak bilemesek de i²=-1 diye bir tanıma sahip olmuştuk. Evet sanal sayılar i ile gösteriliyor…

i²=-1

X² = 25 denklemine bakalım: Şimdi bu denklemin sol tarafı aslında üç bileşene ayrılabilir. x çarpı x çarpı 1. 1’i buraya bir sebepten dolayı ekliyorum, o yüzden sıkı durun.

Burada bakmamız gereken çok basit değil mi? Bir sayıyı kendisiyle çarpacağız ve 25 ulaşacağız. Yaptığımız örnekte söylemiştik bu iki sayıyla mümkün; 5 ve -5 ile…

5 kere 1 sizi 5’e götürür ve 5 ile tekrar çarparsak 25’e götürür. -5 kere 1 sizi -5’e götürür ve sonra -5 kere tekrar işareti geri çevirir ve alır sizi yine 25’e götürür. Oldukça düz bir şekilde biraz ileri biraz geri sayımıza ulaşabiliriz…

Bu işlemlerimizi i²=-1 için yaparsak: Hangi sayı iki kez çarptığımda 1’i -1’e çevirir? 1 değil, çünkü yine 1 ile bitirirdik ve -1 değil, çünkü işaret iki kez çevrilir ve 1 ile sonuçlanmış olur…

Ama boyutlar ile oynarsak

Burada bir dönme, rotasyon yaparsak! Sayı doğrusunun şeklini değiştiremeyeceğimizi kim söyledi?

İki 90 derecelik dönüş yaparsak 1’i -1’e çevirebiliriz! Sayıları bir çizgi üzerinde düşünmeye alışkınız, ancak sanal sayıların tanıtılmasıyla, aslında yeni boyutlar açılmış olur. Evet, sayılar çok boyutludur.

Gerçek eksen ve hayali eksenden oluşurlar ve birbirleri arasında döndürerek geçiş yapabilirler.

Burada mesela: Negatif bir sayı ile çarpmaya devam edersek, oldukça açık bir model elde ederiz.

1, -1, 1, -1, 1, -1.

Böylece negatif sayılar, değişen herhangi bir sistemi takip edebilir. Peki ya sanal sayılarda nasıl olacak?

1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i elde ederiz.

Burada da oldukça açık bir model var. Sanal sayılarda sayı doğrumuza bir boyut katarak işlemlerimizi çözebildik! Bu tür sistemlere aşina değiliz çünkü bunlar “kuantum fiziği” ve dalga mekaniği gibi daha yüksek fizik gerektiren yerlerde kullanılıyor.

Karmaşık Sayılar

Şimdi sanal sayıları duyduysanız, muhtemelen karmaşık sayıları da duymuşsunuzdur. Bu sadece gerçek ve sanal bileşenleri olan bir sayıdır. Sanal sayılarla gerçek sayıları ortak kullandığımız anda buna karmaşık diyoruz. Karışık ve zor olduğu için bu isim verilmemiş sadece ortak kullanımı vurgulamak için denmiş…

Karmaşık sayıların bulunması, daha mükemmel ve eksiksiz bir sayı sistemine kavuşmamızı sağladı. Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da var. “İ” burada gözümüzü korkutmamalı!

Biz şu an i²=-1 olduğunu öğrendik o zaman diğer üstlerde ne oluyor?

Sanal sayıları bir sarkacın hareketinin modellemesinde kullanabilirsiniz. Arabaların süspansiyonlarında da. Kısacası eğer yaylanan bir sisteminiz varsa modellemesinde kullanırsınız. Kullanmak zorunda değilsiniz ama kullanırsanız işler kolaylaşıyor.

Aynı şekilde elektrik devrelerinde de kullanılıyorlar. Alternatif akımı modellemede çok kolaylık sağlıyorlar. Güç tüketimi ve enerji hesaplarında karşımıza bol bol çıkıyorlar zaten. Kompleks sayılar arabaların fren sisteminde de kullanılıyor.

Karmaşık Sayılar: Haritacılık biliminde, üç boyutlu görüntülerin grafik ve tasarımlarında (izlediğimiz üç boyutlu filmlerin görüntüleri) karmaşık sayılar ve fraktal (katmanlı yüzeyler) geometri kullanımıyla gerçekleştirilir. Örneğin, Star Wars (Yıldız Savaşları) böyle hazırlanmıştır.