Banach-Tarski Paradoksu Nedir Ne Değildir…
Sonsuzluğun yol açtığı paradokslar 2500 yıldır biliniyor.
Galileo’da doğal sayılarla, doğal sayıların kareleri arasında bir eşleme olduğunu görüp, parçanın bütünü kadar elemanı olabilmesine şaşırmıştır. Bu yöntemle, sonsuz bir kümeden, bu kümeyle aynı “büyüklükte” birkaç küme çıkarılabilir.
Seçim Aksiyomu’nun o masum dış görünüşünün altında yatan “canavarın” bir yüzü Banach-Tarski Paradoksudur
Her ne kadar paradoks sözcüğünü kullansakta, tam bir paradokstan bahsemeyiz. Seçim Aksiyomu’nun bir sonucu olan durum bu!
Seçim Aksiyomu’nu ilk kez gören biri Seçim Aksiyomu’na matematikte neden özel bir yer ayrıldığını, bu konuda neden bu kadar yazılıp çizildiğini anlamayabilir.
Her gün seçim yaparız, o zaman seçim yapmak neden bir sorun yaratsın ki? Seçim yapmaktan daha doğal ne olabilir ki?
Seçim Aksiyomu, 1904’te Ernst Zermelo tarafından ifade edildi. Kendisi kümeler kuramının temel aksiyomlarından biridir.
Elimizde (sonlu ya da sonsuz sayıda) bir grup küme olduğunu varsayalım, öyle ki bu kümelerin hiçbiri boş olmasın. Seçme aksiyomu der ki: bu kümelerin her birinden bir adet temsilci eleman seçmek mümkündür, temsilciyi nasıl seçeceğimizi söyleyen bir kuralımız yoksa bile!
Eğer elimizde sonlu sayıda küme varsa, seçme aksiyomu gayet bariz bir gerçeği söylemektedir: Bu kümelerin her birine tek tek bakıp, her birinden birer adet temsilci eleman alıp cebimize atabiliriz. Zaten kümelerin sayısı sonluysa seçme aksiyomu diye bir seye gerek yoktur, diğer aksiyomlar kullanılarak bahsi gecen iddia kanıtlanabilir. Ama elimizdeki kümelerin sayısı sonsuz ise o zaman seçme aksiyomunun söylediği şey diğer aksiyomlarla kanıtlanamaz, dolayısıyla seçme aksiyomuna ihtiyaç vardır.
Ne doğru olduğu ispatlanabilir, ne de yanlış olduğu gösterilebilir. Öyle bir Axiom’dur bu işte matematikte.
Stefan Banach ve Alfred Tarski seçim aksiyomların ne tuhaf sonuçlara varacağını göstermek için Banach-Tarski Paradoksu’nu ortaya atmışlardır.
Öncelikle bu iki matematikçiyi tanıyalım:
Stefan Banach
30 mart 1892’de Krakow da doğdu…
Babası bir tren memuruydu. Soyadını ise evlatlık olarak verildiği çamaşırcı bir kadından aldı. Daha küçük yaşlarda geçimini özel dersler vererek kazanacak kadar donanımlıydı. Gittiği okullarda başarısız olmasına karşın. 1916’da Polonyalı matematikçi H.Steinhaus ile tanışması hayatının dönüm noktasıydı.
O zamana kadar dağınık olan matematik bilgisinin toplanmasında Steinhaus’un çok etkisi olmuştur. İlk çalışması Steinhaus ile Fourier serilerinin yakınsaklıklarıyla ilgiliydi.
Soyut kümelerle işlemler ve integral denklemlere uygulamaları konulu tezi, fonksiyonel analizin doğuşu olarak kabul edilir.
2. dünya savaşı sırasında naziler tarafından, bulaşıcı hastalıklar enstitüsünde hademe olarak çalıştırılmış ve 1945’te akciğer kanserinden Ukrayna Sovyet Sosyalist Cumhuriyetinde’ki Lyov kentinde ölmüştür.
Alfred Tarski
14 Ocak 1901 Varşova’da doğdu.
Genel cebir, ölçü kuramı, matematiksel mantık, kümeler kuramı üzerene sayısız araştırma yaptı. Tarski, mantıkta geçerli olan küme kuramını matematiğe uygulayarak, ona daha geniş bir bilgi alanı sağlamayı düşündü. Bu kuram, onun semantikle (anlambilim) ilgili çalışmalarına da ışık tuttu.
1983 yılında Abd Kaliforniya ‘da öldü!
Banach-Tarski Paradoksu
1 yarıçaplı bir küre alalım! Bu küreyi öyle beş parçaya bölebilirim ki ve bu beş parçayı döndürerek, öteleyerek, simetrisini alarak, yani hacim ve alan değiştirmeyen dönüşümlerden geçirdikten sonra öyle toparlayabilirim ki, parçalardan ikisinden yarıçapı 1 olan bir küre, geri kalan üçünden gene yarı çapı 1 olan bir küre elde edebilirim.
Yöntem çok doğal: Bir top al, topu parçala, parçaları döndür, ötele ve sonra eğip bükmeden, çekip çekiştirmeden tekrar yapıştır, al sana iki top! Top doğurdu!
Bunu patatesle ya da köfteyle yapabilseydik dünyanın açlık sorunu kökünden çözerdik.
Hatta farklı çaplarda ve içi dolu a ve b küreleri verilmiş olsun. Banach-Tarski Paradoksu – teoremi der ki; a küresini sonlu sayıda parçaya bölüp, parçaları (hiç esnetip büzüştürmeden) değişik şekilde tekrar bir araya getirerek b küresini oluşturabiliriz.
Yani bezelye büyüklüğünde bir küreyi sonlu sayıda parçaya bölüp, parçaları tekrar birleştirerek güneş büyüklüğünde bir küre yaratmak mümkündür!
Bu yüzden Banach-Tarski teoremi’ne bazen bezelye-güneş teoremi de denir.
Bu saçmasapan görünen teorem Seçim Aksiyomu’yla bal gibide kanıtlanabilir! Hala bazı matematikçiler arasında kabul görmesede bir çok matematikçi seçme aksiyomu ve Banach-Tarski teoremini doğrular!
