Euler sayısı (e) sayısı nedir?
Trigonometriden bileşik faiz hesaplamalarına kadar her yerde karşımıza çıkan bu sayı tüm doğal logaritmaların temelini oluşturan ‘e’ harfi ile temsil edilen irrasyonel bir matematiksel sabittir.
Sayısal olarak, e = 2.7182818284… diye devam eden bir sayıdır. Virgülden sonra sonsuz basamak vardır. kesin bir kesir olarak temsil edilemez. Esasen irrasyonel bir sayıdır, temel doğal logaritmaları oluşturur, yani ‘ln’ i.
Sayı finansal endekslerin büyümesinden hastalıkların yayılma hızına kadar çok sayıda büyüme oranının tahminini kolaylaştırıyor. Bir finansal endeksteki herhangi bir büyüme veya hastalık yayan bir virüsün büyümesi, sonunda “e” tarafından yönetilen bir modeli takip edecektir…
Konuyla Alakalı: Virüs Nedir?
Euler sayısı ilk olarak 16. yüzyıl matematikçisi John Napier çarpma işlemini basitleştirmenin bir yolunu ararken ortaya çıktı. Çarpmanın toplamaya dönüştürüleceği dinamik bir süreç tasarladı; aynı zamanda, bölme; basit çıkarma haline geldi. Bir sütundaki iki sayının çarpımının ikinci sütundaki iki sayının toplamına benzer olduğu iki sütun yarattı. Aslında bu, günümüzün doğal logaritmik tablolarının bir ön versiyonuydu. Napier, süreci boyunca hiçbir zaman ‘e’nin varlığını kabul etmedi, ama bunu açık bir şekilde gerçekleştirmeden kullandı. Bugün, ‘e’nin her doğal logaritmanın temelini oluşturduğu onun sayesinde biliyoruz aslında.
Konuyla Alakalı: Logaritma Nedir?
Bir asırdan fazla bir süre sonra, Euler’in sayısı açıkça belirlendi.
Gottfried Leibniz, hesap üzerindeki çalışmaları sırasında sabiti keşfetti. İlk sözü Leibniz’in Christian Goldbach‘a yazdığı ve sabit ‘b’ olarak adlandırdığı bir mektupta kaydedildi. Ancak, çok daha sonra, 18. yüzyıl civarında, Leonhard Euler matematiksel sabite modern ‘e’ adını verdiğinde ve şaşırtıcı özelliklerinden birkaçını detaylandırdığında oldu.
İşin garibi, “e” Euler’in adının yerine geçmez, o aslında bizim ünlülere olan sevgimizin sonucudur. Leonhard “a’nın zaten alınmış olduğunu öğrendiğinde, başka bir harf ile berlemek istedi ve özel keşfini temsil etmek için hevesle “e”yi seçti.
Bununla birlikte, modern matematik üzerinde bu kadar önemli bir etkiye sahip olan bir matematiksel sabitin insan uygarlığının bu kadar geç bir aşamasında keşfedilmesi şaşırtıcıdır. Buna karşılık, hepimizin sevgiyle Pi dediği sabit (22/7) ilk olarak MÖ 550 civarında keşfedildi!
Konuyla Alakalı: Pi (π) Sayısı
Bu sabitin nasıl oluştuğunu daha iyi anlamak için basit bir örneğe bakalım.
Yatırım konusunda bilgili arkadaşınızın 100 TL istediğini ve bunu bir yılda ikiye katlayabileceğini iddia ettiğini hayal edin. Yıl sonunda size 200 TL vererek %100 yatırım getirisini garanti eder. Eğer bu doğruysa, yatırımınızı 6 ay içinde geri isterseniz, teorik olarak size %50’lik bir getiri sağlamalıdır, bu da toplam 150 TL’dir. 6 ayın sonunda 150 TL alır ve kalan 6 ay için “fonuna” geri koyarsanız, yılın sonunda 225 TL alırsınız. Bu ekstra 25 TL demek.
Şimdi, her ay paranızı alıp yeniden yatırım yapsanız ne olur? Yaklaşık 271 TL kazanıyor olacaksınız. Peki ya her günün sonunda paranızı çekerseniz? Yaklaşık 271.82 TL kazanacaksınız… Bunun nereye gittiğini görüyor musunuz? Paranızı ikiye katlamak yerine katlanarak büyütmeyi başardınız. Başka bir deyişle, paranızı bir “e” faktörü kadar büyüttünüz.
Daha basit örnekleme yapalım.
1 TL’yi her yıl %100 faiz olan bir bankaya koyduk
- 1 yıl sonra 2 TL
- 2 yıl sonra: 4 TL
- 3 yıl sonra: 8 TL
Ama biz 6 ayda bir %50 faiz almışken paramızı çekip tekrardan hesaba 6 aylığına yatıralım:
1 TL ile başladığımızda paramız şöyle büyüyecektir:
- 6 ay sonra: 1.5 TL
- 1 yıl sonra: 2.25 TL
- 1.5 yıl sonra: 3.375 TL
Garip bir şekilde ilk örnekteki gibi paramız 1 TL’den 2 TL’ye dönüşmek yerine 1 yılda 2,25 TL’ye ulaştı.
Peki biz bu hileye devam edersek? Yılı da, faizi de 3’e bölüp her 4 ayda bir %33.3 faiz isteseydik? Bu durumda:
- 4 ay sonra: 1.33 TL
- 8 ay sonra: 1.77 TL
- 1 yıl sonra: 2.37 TL
1 yıl sonunda kazandığımız kar bu seferde %100’den daha fazla olmaya başladı karımız 0,37 TL.
Tamamda biz bunu sonsuza kadar götürmek istersek ne olur?
Yılı da, faizi de 365’e bölüp her gün %0.27 faiz istesek?
- 1 gün sonra: 1.0027 TL
- 2 gün sonra: 1.0054 TL
- …
- 365 gün sonra: 2.675 TL
Kazancımız artıyor ama artışımızda yavaşlamaya başlıyor maalesef…
Ama bu nereye kadar gidebilir ki?
Eğer faiz oranını sonsuz miktarda küçültüp süreyide sonsuz miktarda arttırmayı başarırsak; 1 yılda kazanacağımız en son gelir ‘’e’’ sayısına ulaşmaktadır.
- 1 birim süre sonra: 2 TL
- 2 birim süre sonra: 2.25 TL
- 3 birim süre sonra: 2.37037 TL
- …
- 10 birim süre sonra: 2.5937 TL
- …
- 50 birim süre sonra: 2.6916 TL
- …
- 100 birim süre sonra: 2.7048 TL
- …
- 500 birim süre sonra: 2.715568 TL
- …
- 1000 birim süre sonra: 2.7169239 TL
- 10000 birim süre sonra: 2.7181459 TL
- …
- 1 milyon birim süre sonra: 2.71828046 TL
- 1 milyar birim süre sonra: 2.718282038 TL
Ve sonucunda elde ettiğimiz sayı, Euler Sayısı’nın bir yakınsamasıdır. Ne kadar minik parçaya bölerseniz bölün, bu sayı asla ve asla 2.72 TL’ye ulaşmayacaktır. Sınır, e sayısıdır.
► Yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2 lirası olur.
► 6 ayda bir %50 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,25 lirası olur.
► 3 ayda bir %25 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,44… lirası olur.
► Ayda bir %8,33… faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,6130… lirası olur.
► Ve aynı şekilde haftada bir işleyen faiz sonunda 1 sene sonra 2,6925… lirası olur.
► Her gün işleyen faizi hesapladığımızda ise 1 sene sonra 2,71453… lirası olur.
Bizce evrenin en güzel denklerimden biri olan Euler kimliği ile bitirelim…
e iπ + 1 = 0
Konuyla Alakalı: Leonhard Euler